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正三棱锥

归档日期:06-20       文本归类:防坦克三角锥      文章编辑:爱尚语录

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  正三棱锥是锥体中底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形三棱锥。正三棱锥不等同于正四面体,正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。

  3. 顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心)。

  说明:上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中,常常取上述直角三角形。其实质是,不仅使空间问题平面化,而且使平面问题三角化,还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中,利于解出。

  为体积,L为斜高,C为棱锥底面周长有:三棱锥棱锥的侧面展开图是由4个三角形组成的,展开图的面积,就是棱锥的侧面积,则 :(其中

  = 1,2为第i个侧面的面积)S全=S棱锥侧+S底S正三棱锥=1/2CL+S底V=1/3

  如图,这是一个一般的三棱柱ABC-ABC,它的体积可以分为三个等体积的三棱锥,即三棱锥C-AAB,三棱锥C-ABB,三棱锥A-CBC.因为三棱柱的侧面AABB是平行四边形,所以△AAB的面积=△ABB的面积,即其中三棱锥C-AAB与三棱锥C-ABB的底面积相等,它们两个的顶点都是C,即C到它们底面的距离都相等,所以三棱锥C-AAB与三棱锥C-ABB的体积相等。而三棱锥C-ABB也可以看作是三棱锥A-BCB,且三棱锥A-CBC与三棱锥A-BCB的底面积相等(即△BCB与△BCC的面积相等),且它们两个的顶点都是A,即A到它们底面的距离都相等,所以三棱锥A-CBC与三棱锥A-BCB的体积也相等,故三棱锥C-AAB,三棱锥C-ABB,三棱锥A-CBC的体积都相等,由此可见,一个三棱柱的体积等于三个等体积的三棱锥体积之和,即V三棱锥=1/3S·h.2三棱锥公式

  任意一个三棱锥或者说四面体,其棱为a,b,c,d,e,f,其中a与d,b与e,c与f互为对边,那么有三棱锥(四面体)的体积公式为

  因为正四面体底面为正三角形,所以斜高线位于任意顶点与底边中点连线,又三线合一,所以侧面重心位于高线处,即可算出顶点与重心(球与侧面切点)的距离,又知正三棱锥边长,即可根据勾股定理算出圆心所在直线(即顶点与底面重心的连线)的长度,即可算出底面与球心的距离(即内切球半径)。

  和计算内切球心一样算出圆心所在直线(即顶点与底面重心的连线)的长度,即可算出顶点与球心的距离(即外接球半径)。

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